操作臂的工作空间：操作臂末端执行器所能达到的范围。
灵巧工作空间：机器人末端执行器能够从各个方向上达到的空间区域。
可达工作空间：机器人至少从一个方向上可以达到的工作空间。
灵巧工作空间是可达工作空间的子集。
要使机器人逆运动学方程有解，则被指定的目标点位姿必须在工作空间内。
下面以两连杆机构为例，阐述逆运动学问题。
两连杆长度分别为$l_1$,$l_2$，若$l_1=l_2$，则可达工作空间是半径为$2l_1$的圆，灵巧工作空间仅为原点一个点。如果$l_1 \not = l_2$则可达工作空间为外径 $l_1+l_2$ ，内径$|l_1 - l_2|$ 的圆环，在可达工作空间内部，末端执行器有两种可能的方向，在工作空间的边界上只有一种可能的方向（假设操作臂可以360度旋转）。
多解问题
系统最终只能选择一个解，比较合理的方法是选取最近解，即使得每一个运动关节的运动量最小，计算最近解时需要加权，使移动对象尽可能是小连杆而不是大连杆，在存在障碍的情况下，应该选取较远的解。
求解方法
可以分为解析解和数值解两种。解析解又可分为几何法和代数法。
最新的研究结果是：包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构均是可解的。但这种解一般是数值解，偶尔有解析解。设计者通常使机械臂足够简单，以获取解析解。
代数法求解平面三连杆机械臂
第一部分：正向运动学
现有平面三连杆机械臂，三个关节均为转动关节（因此也称RRR机构或3R机构）。
20231221193925.jpg
- 参考坐标系{0}，固定在基座上。
- 当第一个关节变量值 $(\theta_1)$ 为0时坐标系{0}与坐标系{1}重合。
建立坐标系如图，其中所有的 $z$ 轴均与关节轴的轴线重合，由于机械臂位于同一个平面上，因此所有的 $\hat Z$ 轴相互平行，连杆偏距 $d_i$ 均为0。得到连杆参数如下表：
| $i$ |
$\alpha_{i-1}$ |
$a_{i-1}$ |
$d_i$ |
$\theta_i$ |
| $1$ |
$0$ |
$0$ |
$0$ |
$\theta_1$ |
| $2$ |
$0$ |
$L_1$ |
$0$ |
$\theta_2$ |
| $3$ |
$0$ |
$L_2$ |
$0$ |
$\theta_3$ |
20231221194637.jpg第二部分：代数法求解逆向运动学
由前面的操作臂运动学，易得机械臂的运动学方程为：
$$ \begin{align}
{}^B_W T = {}^0_3 T = \begin{pmatrix}
c_{123} & -s_{123} & 0 & l_1 c_1 +l_2 c_{12} \\ s_{123} & c_{123} & 0 & l_1 s_1 +l_2 s_{12} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align} $$
机械臂末端位姿用三个参数来描述：
$$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\phi
\end{pmatrix}
\end{align} $$
则有变换矩阵的形式为：
$$ \begin{align}
{}^B_W T = \begin{pmatrix}
c_{ \phi } & -s_{\phi } & 0 & x \\ s_{\phi } & c_{\phi } & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align} $$
显然所有可达目标点均需要位于上式（3）所描述的子空间内。
令（3）式与（2）式相等，可以得到非线性方程组如下：
$$ \begin{align}
c_{\phi} &= c_{123} \\
s_{\phi} &= s_{123} \\
x &= l_1 c_1 +l_2 c_{12} \\
y &= l_1 s_1 +l_2 s_{12}
\end{align} $$
下面要做的就是求解3个关节角$\theta_1 \theta_2 \theta_3$的值
$$ \begin{align}
(6)^2 + (7)^2 = x^2 + y^2 &= l_1 ^2 + l_2^2(c_{12}^2 + s_{12}^2) + 2 l_1 l_2 c_1 c_{12} + 2 l_1 l_2 s_1 s_{12} \notag \\
&= l_1 ^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 (c_1(c_1 c_2 - s_1 s_2) + s_1 (c_1 s_2 + s_1 c_2)) \notag \\
& = l_1 ^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 (c_1^2 c_2 + s_1^2 c_2 ) \notag \\
& = l_1 ^2 + l_2^2 + 2 l_1 l_2 c_2 \\
\Darr \notag \\
c_2 \equiv \cos \theta_2 &= \frac{x^2 + y^2 - l_1 ^2 - l_2^2}{2 l_1 l_2} \\
\Darr \notag \\
-1 \leq \cos \theta_2 &= \frac{x^2 + y^2 - l_1 ^2 - l_2^2}{2 l_1 l_2} \leq 1
\end{align} $$
上式（10）可以用来判断解的存在性。
$$ \begin{align}
s_2 = \pm \sqrt{1-c_2^2} \\
\theta_2 = Atan2(s_2 ,c_2)
\end{align} $$
上式（11）有多个解，需要根据实际情况选择适当的解。
下面根据式（6）（7）求解 $\theta_1$ ，有：
$$ \begin{align}
x &= (l_1 + l_2 c_2 ) c_1 - l_2 s_2 s_1 = k_1 c_1 - k_2 s_1 \\
y &=(l_1 + l_2 c_2 ) s_1 + l_2 s_2 c_1 = k_1 s_1 + k_2 c_1 \\
令 r &= \pm \sqrt{k_1^2 + k_2^2} , \gamma = A tan2(k_2,k_1) \\
有 k_1 &= r \cos \gamma , k_2 = r \sin \gamma \text{代入前式：}\\
\frac{x}{r} &= \cos \gamma \cos \theta_1 - \sin \gamma \sin \theta_1 = \cos (\gamma + \theta_1)\\
\frac{y}{r} &= \cos \gamma \sin \theta_1 + \sin \gamma \cos \theta_1 = \sin (\gamma + \theta_1) \\
& \Darr \notag \\
\gamma + \theta_1 &= Atan2(\frac{y}{r},\frac{x}{r}) = Atan2(y,x) \\
& \Darr \notag \\
\theta_1 &= Atan2(y,x) - Atan2(k_2,k_1)
\end{align} $$
最后再由（4）、（5）两式求得三个关节角的和：
$$ \begin{align}
\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = Atan2(s_{\phi},c_{\phi}) = \phi
\end{align} $$
至此，可以求出三个关节角了。
需要注意可能存在多解。
第三部分：几何法求解逆向运动学
几何解法利用余弦定理，只需具备基本的高中数学知识即可求解，过程如下图所示，内容引自《机器人学导论》
20231221233751.jpg代数变换的技巧
令
$$ \begin{align}
u &=\tan \frac{\theta}{2} \notag \\
\cos \theta &=\frac{1-u^2}{1+u^2} \\
\sin \theta &= \frac{2u}{1+u^2} \notag
\end{align} $$
可以将超越方程转换为关于u的多项式方程，简化计算。